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Inecuaciones

Inecuaciones

Las inecuaciones son desigualdades algebraicas en la que sus dos miembros se relacionan por uno de estos signos:
< menor que 2x − 1 < 7
menor o igual que 2x − 1 ≤ 7
> mayor que 2x − 1 > 7
mayor o igual que 2x − 1 ≥ 7

La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que la verifica.
La solución de la inecuación se expresa mediante:
1. Una representación gráfica.
2. Un intervalo.
2x − 1 < 7
2x < 8     x < 4
solución
(-∞, 4)
2x − 1 ≤ 7
2x ≤ 8     x ≤ 4
solución
(-∞, 4]
2x − 1 > 7
2x > 8     x > 4
solución
(4, ∞)
2x − 1 ≥ 7
2x ≥ 8     x ≥ 4
solución
[4, ∞)

Inecuaciones equivalentes

Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se les resta un mismo número, la inecuación resultante es equivalente a la dada.
3x + 4 < 5         3x + 4 − 4 < 5 − 4       3x < 1
Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número positivo, la inecuación resultante es equivalente a la dada.
2x < 6                2x : 2 < 6 : 2       x < 3
Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número negativo, la inecuación resultante cambia de sentido y es equivalente a la dada.
−x < 5          (−x) · (1) > 5 · (1)      x > −5

Inecuaciones de primer grado

Inecuaciones de primer grado con una incógnita

Quitar corchetes y paréntesis.
Quitar denominadores.
Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y los términos independientes en el otro.
Efectuar las operaciones
Si el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad.
Despejamos la incógnita.
Expresar la solución de forma gráfica y con un intervalo.
resolución de la inecuación
resolución de la inecuación
resolución de la inecuación
resolución de la inecuación
resolución de la inecuación
resolución de la inecuación
resolución de la inecuación
resolución de la inecuación
gráfica
[3, +∞)

Inecuaciones de segundo grado

Consideremos la inecuación:
x2 − 6x + 8 > 0
La resolveremos aplicando los siguientes pasos:
Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.
x2 − 6x + 8 = 0
solución a la ecuación

Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:
gráfica
P(0) = 02 − 6 · 0 + 8 > 0
P(3) = 32 − 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0
P(5) = 52 − 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0
La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que el polinomio.
gráfica
S = (-∞, 2) Unión (4, ∞)

x2 + 2x +1 ≥ 0
x2 + 2x +1 = 0
solución
(x + 1)2 ≥ 0
Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución es R
    Solución
x2 + 2x +1 ≥ 0 (x + 1)2 ≥ 0 R
x2 + 2x +1 > 0 (x + 1)2 > 0 R-1
x2 + 2x +1 ≤ 0 (x + 1)2 ≤ 0 x = − 1
x2 + 2x +1 < 0 (x + 1)2 < 0 vacio
x2 + x +1 > 0
x2 + x +1 = 0
solución

Cuando no tiene raíces reales, le damos al polinomio cualquier valor si:
El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solución es R.
El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene solución.
  Solución
x2 + x +1 ≥ 0 R
x2 + x +1 > 0 R
x2 + x +1 ≤ 0 vacio
x2 + x +1 < 0 vacio

Inecuaciones racionales

Las inecuaciones racionales se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tener presente que el denominador no puede ser cero.
inecuación
Hallamos las raíces del numerador y del denominador.
x − 2 = 0      x = 2
x − 4 = 0      x = 4
Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las raíces del denominador, independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas.
Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:
gráfica
inecuación
signos
signos
signos
gráfica
La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que la fracción polinómica.
S = (-∞, 2] Unión (4, ∞)

inecuación
Pasamos el 2 al primer miembro y ponemos a común denominador.
inecuación

Hallamos las raíces del numerador y del denominador.
−x + 7 = 0      x = 7
x − 2 = 0        x = 2
Evaluamos el signo:
signos
signos
signos
solución gráfica
S = (-∞, 2) Unión (7, ∞)
      1.