Derivada en un punto
La derivada de una función f(x) en un punto x = a es el valor del límite, si existe, del cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.
Ejemplos
Calcular la derivada de la función f(x) = 3x2 en el punto x = 2.
Hallar la derivada de la función f(x) = x2 + 4x − 5 en x = 1.
Calcular la derivada de 
en x = −5.
en x = −5.
Hallar la derivada de 
en x = 1.
en x = 1.
Determinar la derivada de 
en x = 2.
en x = 2.
Calcula el valor de la derivada 
en x = 2.
en x = 2.
Hallar la derivada de 
en x = 3.
en x = 3.
Derivadas laterales
Derivada por la izquierda
Derivada por la derecha
Una función es derivable en un punto si, y sólo si, es derivable por la izquierda y por la derecha en dicho punto y las derivadas laterales coinciden.
Ejemplo
Estudiar el valor de la derivada de 
en x = 0
en x = 0
Como no coinciden las derivadas laterales la función no tiene derivada en x = 0.
Interpretación de la derivada
Interpretación geométrica de la derivada
Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β.
La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.
mt = f'(a)
Ejemplos
Dada f(x) = x2, calcular los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.
La ecuación de la bisectriz del primer cuadrante es y = x, por tanto su pendiente es m= 1.
Como las dos rectas son paralelas tendrán la misma pendiente, así que:
f'(a) = 1.
Dado que la pendiente de la tangente a la curva es igual a la derivada en el punto x = a.
Dada la curva de ecuación f(x) = 2x2 − 3x − 1, halla las coordenadas de los puntos de dicha curva en los que la tangente forma con el eje OX un ángulo de 45°.
Determinar los valores del parámetro b, para qué las tangentes a la curva de la función f(x) = b2x3 + bx2 + 3x + 9 en los puntos de abscisas x = 1, x = 2 sean paralelas.
Para que sean paralelas se tiene que cumplir que las derivadas en x = 1 y x = 2 sean iguales.
f'(1) = f'(2)
f'(x) = 3b2x2 + 2bx + 3
f'(1) = 3b2 + 2b + 3
f'(2) = 12b2 + 4b + 3
3b2 + 2b + 3 = 12b2 + 4b + 3
9b2 + 2b = 0
b = 0 b = −2/9
Interpretación física de la derivada
Velocidad media
La velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido (Δe) y el tiempo transcurrido (Δt).
Velocidad instantánea
La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando Δt tiende a cero, es decir, la derivada del espacio respecto al tiempo.
Ejemplo
La relación entre la distancia recorrida en metros por un móvil y el tiempo en segundos es e(t) = 6t2. Calcular:
1 la velocidad media entre t = 1 y t = 4.
La velocidad media es el cociente incremental en el intervalo [1, 4].
2 La velocidad instantánea en t = 1.
La velocidad instantánea es la derivada en t = 1.
¿Cuál es la velocidad que lleva un vehículo se mueve según la ecuación e(t) = 2 − 3t2 en el quinto segundo de su recorrido? El espacio se mide en metros y el tiempo en segundos.
Una población bacteriana tiene un crecimiento dado por la función p(t) = 5000 + 1000t² , siendo t el tiempo metido en horas. Se pide:
1. La velocidad media de crecimiento.
2. La velocidad instantánea de crecimiento.
3. La velocidad de crecimiento instantáneo para t0 = 10 horas.
Derivadas de funciones
La función derivada de una función f(x) es una función que asocia a cada número real su derivada, si existe. Se expresa por f'(x).
Ejemplos
Determinar la función derivada de f(x) = x2 − x + 1.
Calcular f'(−1), f'(0) y f'(1)
f'(−1) = 2(−1) − 1 = −3
f'(0) = 2(0) − 1 = −1
f'(1) = 2(1) − 1 = 1
Derivada de las funciones a trozos
En las funciones definidas a trozos es necesario estudiar las derivadas laterales en los puntos de separación de los distintos trozos.
Estudiar la derivabilidad de la función f(x) = |x|.
Puesto que las derivadas laterales en x = 0 son distintas, la función no es derivable en dicho punto.
Las derivada laterales no coinciden en los picos ni en los puntos angulosos de las funciones. Por tanto en esos puntos no existe la derivada.
No es derivable en x = 0.
Hallar el punto en que y = |x + 2| no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.
La función es continua en toda 
.
.
f'(−2)− = −1f'(−2)+ = 1
No será derivable en: x= -2.
En x = -2 hay un pico, por lo que no es derivable en x= -2.
Hallar los puntos en que y = |x 2 − 5x + 6| no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.
La función es continua en toda .
.
f'(2)- = −1f'(2)+ = 1
f'(3)- = −1f'(3)+ = 1
Como no coinciden las derivadas laterales la función no será derivable en: x=2 y x=3.
Podemos observar que en x = 2 y en x = 3 tenemos dos puntos angulosos, por lo que la función no será derivable en ellos.
Derivadas inmediatas
Derivada de una constante
Derivada de x
Derivada de función afín
Derivada de una potencia
Derivada de una raíz
Derivada de una raíz cuadrada
Derivada de suma
Derivada de de una constante por una función
Derivada de un producto
Derivada de constante partida por una función
Derivada de un cociente
Derivadas exponenciales y logarítmicas
Derivada de la función exponencial
Derivada de la función exponencial de base e
Derivada de un logaritmo
Derivada de un logaritmo neperiano
Derivadas trigonométricas
Derivada del seno
Derivada del coseno
Derivada de la tangente
Derivada de la cotangente
Derivada de la secante
Derivada de la cosecante
Derivadas trigonométricas inversas
Derivada del arcoseno
Derivada del arcocoseno
Derivada del arcotangente
Derivada del arcocotangente
Derivada del arcosecante
Derivada del arcocosecante
Derivada la función potencial-exponencial
Regla de la cadena
Fórmula de derivada implícita
Aplicaciones de las derivadas
Recta tangente
Pendiente
La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es la derivada de la función en dicho punto.
Ecuación de la recta tangente
La recta tangente a a una curva en un punto es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a f '(a).
Problemas
Calcular los puntos en que la tangente a la curva y = x3 − 3x2 − 9x + 5 es paralela al eje OX.
y' = 3x2 − 6x − 9; x2 − 2x − 3 = 0 (simplificando por 3)
x1 = 3 y1 = −22
x2 = −1y2 = 10
A(3, −22) B(−1, 10)
Se ha trazado una recta tangente a la curva y= x3, cuya pendiente es 3 y pasa por el punto (0,−2). Hallar el punto de tangencia.
Sea el punto de tangencia (a, f(a))
f' (x)= 3x2f' (a)= 3a2
3a2=3a = ±1
Las ecuaciones de la rectas tangentes son:
a = 1 f(a) = 1
y − 1 = 3(x − 1) y = 3x−2
a = −1 f(a) = −1
y + 1= 3(x + 1) y = 3x + 2
El punto (0, −2) pertenece a la recta y = 3x−2.
Por tanto el punto de tangencia será (1, 1) .
Encontrar los puntos de la curva f(x) = x4 + 7x3 + 13x2 + x +1, para los cuales la tangente forma un ángulo de 45º con OX.
m = 1
f'(x) = 4x3 + 21x2 + 26x +1
4x3 + 21x2 + 26x +1 = 1
x = 0 x = −2 x z= 13/4
P(0, 4) Q(−2, 4) R(13/4, 1621/256)
Dada la función f(x) = tg x, hallar el ángulo que forma la recta tangente a la gráfica de la función f(x) en el origen, con el eje de abscisas.
f′(x) = 1 + tg² x f′(0) = 1 = m
y = x
α = arc tg 1 = 45º
Hallar los coeficientes de la ecuación y = ax2 + bx + c, sabiendo que su gráfica pasa por (0, 3) y por (2, 1)., y en este último punto su tangente tiene de pendiente 3.
Pasa por (0, 3) 3 = c
Pasa por (2, 1) 1= 4a + 2b + c
y' = 2ax + b 3 = 4a + b
Resolviendo el sistema se obtiene:
a = 2 b = −5 c = 3
La gráfica de la función y = ax2 + bx + c pasa por los puntos (2, 3) y (3, 13). siendo la tangente a la misma en el punto de abscisa 1 paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Hallar el valor numérico de a, b y c.
Pasa por (2, 3) 3 = 4a + 2b + c
Pasa por (3, 13)13 = 9a + 3b +c
y' = 2ax + b 1 = 2a + b
Resolviendo el sistema se obtiene:
a = 3 b = −5 c =1
Dada la función f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, determina a, b, c y d; sabiendo que la curva pasa por los puntos (−1, 2) (2, 3), y que las tangentes a ellas en los puntos de abscisa 1 y −2 son paralelas al ejes de abscisas.
f(−1) = 2 −a + b − c + d = 2
f(2) = 3 8a + 4b + 2c + d = 3
f′(−1) = 0 3a + 2b + c = 0
f′(2) = 0 12a − 4b + c = 0
a = − 2 /9 b = − 1 /3 c = 4/3 d = 31/9
Recta normal
Pendiente
La pendiente de la recta normal a una curva en un punto es la opuesta de la inversa de la pendiente de la recta tangente, por ser rectas perpendiculares entre sí.
La pendiente de la recta normal es la opuesta de la inversa de la derivada de la función en dicho punto.
Ecuación de la recta normal
La recta normal a a una curva en un punto a es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a la inversa de la opuesta de f '(a).
Ejemplos
Calcular la ecuación de la tangente y de la normal a la curva f(x) = ln tg 2x en el punto de abscisa: x = π/8.
Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la parábola y = x2 + x + 1 paralela a la bisectriz del primer cuadrante.
Sea el punto de tangencia (a, b)
m = 1
f'(a) = 2a + 12a + 1 = 1 a = 0
Punto de tangencia:(0, 1)
Recta tangente:
y − 1 = x y = x +1
Recta normal:
m= 1P(0, 1)
y − 1 = −x y = −x + 1
Crecimiento y decrecimiento
Crecimiento
Si f es derivable en a:
Decrecimiento
Si f es derivable en a:
Cálculo de los intervalos de crecimiento y decrecimiento
Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de:
f(x) = x3 − 3x + 2
Para hallar su crecimiento y decrecimiento vamos a realizar los siguientes pasos:
1. Derivar la función.
f '(x) = 3x2 −3
2. Obtener las raíces de la derivada primera, para ello hacemos: f'(x) = 0.
3x2 −3 = 0 x = -1 x = 1
3. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada primera y los puntos de discontinuidad (si los hubiese)
4. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada primera.
Si f'(x) > 0 es creciente.
Si f'(x) < 0 es decreciente.
Del intervalo (−∞, −1) tomamos x = -2, por ejemplo.
f ' (-2) = 3(-2)2 −3 > 0
Del intervalo (−1, 1) tomamos x = 0, por ejemplo.
f ' (0) = 3(0)2 −3 < 0
Del intervalo ( 1, ∞) tomamos x = 2, por ejemplo.
f ' (2) = 3(2)2 −3 > 0
5. Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento:
De crecimiento: (−∞, −1) 
(1, ∞)
(1, ∞) De decrecimiento: (−1,1)
Ejercicios
Máximos y mínimos
Máximos
Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo o local si se cumple:
1. f'(a) = 0
2. f''(a) < 0
Mínimos
Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo o local si se cumple:
1. f'(a) = 0
2. f''(a) > 0
Cálculo de los máximos y mínimos relativos
f(x) = x3 − 3x + 2
1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.
f'(x) = 3x2 − 3 = 0
x = −1 x = 1.
2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada primera y si:
f''(x) > 0 Tenemos un mínimo.
f''(x) < 0 Tenemos un máximo.
f''(x) = 6x
f''(−1) = −6 Máximo
f'' (1) = 6 Mínimo
3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.
f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4
f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0
Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)
Ejercicios
Problemas
Determinar a, b y c para que la función f(x) = x 3 + ax2 + bx + c tenga un máximo para x=−4, un mínimo, para x=0 y tome el valor 1 para x=1.
f(x) =x3 + ax2 + bx + c f′(x) = 3x2 + 2ax + b
1 = 1 + a + b + c a + b + c = 0
0 = 48 − 8a +b 8a − b = 48
0 = 0 − 0 + b b = 0
a = 6 b = 0 c = −6
Determinar el valor de a, b, c y d para que la función f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d tenga un máximo en (0, 4) y un mínimo en (2, 0).
f(x) = ax 3 +bx 2 +cx +df′(x) = 3ax 2 + 2bx + c
f(0) = 4 d = 4
f(2) = 0 8a + 4b + 2c = 0
f′(0) = 0 c = 0
f′(2) =0 12a + 4b + c = 0
a = 1 b = −3 c = 0 d = 4
Dada la función:
Calcula a, b y c, de modo que f(x) tenga en (2, −1) un extremo local y que la curva pase por el origen de coordenadas.
Hallar a y b para qué la función: f(x) = a · ln x + bx 2 + x tenga extremos en los puntos x1 = 1 y x2 = 2. Para esos valores de a y b, ¿qué tipo de extremos tienen la función en 1 y en 2?
Concavidad y convexidad
Estudio de los intervalos de concavidad y convexidad
f(x) = x3 − 3x + 2
1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.
f''(x) = 6x 6x = 0x = 0.
2. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada segunda y los puntos de discontinuidad (si los hubiese).
3. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada segunda.
Si f''(x) > 0 es cóncava.
Si f''(x) < 0 es convexa.
Del intervalo (− ∞, 0) tomamos x = −1, por ejemplo.
f''(−1) = 6(−1) < 0 Convexa.
Del intervalo (0, ∞) tomamos x =1, por ejemplo.
f''(1) = 6 (1) > 0 Cóncava.
4. Escribimos los intervalos:
Concavidad: (0, ∞)
Convexidad: (− ∞, 0)
Ejercicios
Puntos de inflexión
En los puntos de inflexión hay cambio de concavidad a convexidad o viceversa.
Cálculo de los puntos de inflexión
f(x) = x3 − 3x + 2
1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.
f''(x) = 6x 6x = 0 x = 0.
2. Realizamos la derivada tercera, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada segunda y si:
f'''(x) ≠ 0 Tenemos un punto de inflexión.
f'''(x) = 6 Será un punto de inflexión.
3. Calculamos la imagen (en la función) del punto de inflexión.
f(0) = (0)3 − 3(0) + 2 = 2
Punto de inflexión: (0, 2)
Cálculo de los puntos de inflexión conociendo los intervalos de concavidad y convexidad
Los puntos de inflexión son los puntos de la función en que ésta pasa de cóncava a convexa o vicecersa.
Ejercicios
Tenemos un punto de inflexión en x = 0, ya que la función pasa de convexa a concava.
Punto de inflexión (0, 0) 
Dominio
Problemas
Obtener la ecuación de la tangente a la gráfica de f(x) = 2x3 − 6x 2 + 4 en su punto de inflexión.
f′(x) = 6x 2− 12xf′′(x) = 12x − 121
2 x − 12 = 0x = 1
f′′′(x) = 12 f′′′(1) ≠ 0 f(1) = 0
Punto de inflexión: (1, 0)
f′(1) = 6 − 12= − 6 = m
y − 0 = −6(x − 1)y = −6x + 6
La curva f(x) = x 3 + a x2 + b x + c corta al eje de abscisas en x = 3 y tiene un punto de inflexión en (2/3, 1/9). Hallar a, b y c.
Determina las ecuaciones de la tangente y normal en su punto de inflexión a la curva: f(x) = x³ − 3x² + 7x + 1.
f′ (x) = 3 x 2 − 6x+ 7
f′′ (x) =6 x − 6
6 x − 6 = 0 x= 1
f′′′(x) =12 f′′′(1) ≠ 0 f(1)= 6
Punto de inflexión: (1, 6)
m t = f′(1) = 4 m n = −1/4
Recta tangente: y − 6 = 4 (x − 1) 4x − y + 2 = 0
Recta normal: y − 6 = − 1/ 4 (x − 1) x + 4 y − 25 = 0
Sea f(x) = x3 + ax2 + bx + 7. Hallar a y b de manera que la gráfica de la función f(x) tenga para x= 1 un punto de inflexión, y cuya recta tangente en ese punto forme un ángulo de 45° con el eje OX.
f'(x) = 3 x2 + 2 ax + b f′′(x) = 6x + 2a
f′(1) = 1 3 + 2a + b = 1
f′′(1) = 0 6 + 2a = 0
a = − 3 b = 4
Teorema de Rolle
El teorema de Rolle dice que:
Si f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), tal que f(a) = f(b), hay algún punto c 
(a, b) en el que f'(c) = 0.
(a, b) en el que f'(c) = 0.
La interpretación gráfica del teorema de Rolle nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela al eje de abscisas.
Ejemplos
1. ¿Es aplicable el teorema de Rolle a la función f(x) = |x − 1| en el intervalo [0, 2]?
La función es continua en [0, 2].
No es aplicable el teorema de Rolle porque la solución no es derivable en el punto x = 1.
2. Estudiar si la función f(x) = x − x3 satisface las condiciones del teorema de Rolle en los intervalos [−1, 0] y [0, 1]. en caso afirmativo determinar los valores de c.
f(x) es una función continua en los intervalos [−1, 0] y [0, 1] y derivable en los intervalos abiertos (−1, 0) y (0, 1) por ser una función polinómica.
Además se cumple que:
f(−1) = f(0) = f(1) = 0
Por tanto es aplicable el teorema de Rolle.
3.¿Satisface la función f(x) = 1 − x las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo [−1, 1]?
La función es continua en el intervalo [−1, 1] y derivable en (−1, 1) por ser una función polinómica.
No cumple teorema de Rolle porque f(−1) ≠ f(1).
4.Probar que la ecuación 1 + 2x + 3x2 + 4x3 = 0 tiene una única solución.
Vamos a demostrarlo por reducción al absurdo.
Si la función tuviera dos raíces distintas x1 y x2, siendo x1< x2 , tendríamos que:
f(x1) = f(x2) = 0
Y como la función es continua y derivable por ser una función polinómica, podemos aplicar el teorema del Rolle, que diría que existe un c (x1, x2) tal que f' (c) = 0.
(x1, x2) tal que f' (c) = 0. f' (x) = 2 + 6x + 12x2 f' (x) = 2 (1+ 3x + 6x2).
Pero f' (x) ≠ 0, no admite soluciones reales porque el discrimínante es negativo:
Δ = 9 − 24 < 0.
Como la derivada no se anula en ningún valor está en contradicción con el teorema de Rolle, por lo que la hipótesis de que existen dos raíces es falsa.
5.¿Cuántas raíces tiene la ecuación x3 + 6x2 + 15x − 25 = 0?
La función f(x) = x3 + 6x2 + 15x − 25 es continua y derivable en ·
·f(0) = −25
f(2) = 37
Por tanto la ecuación tiene al menos una solución en el intervalo (0, 2).
Teorema de Rolle.
f' (x) = 3x2 + 12x +15
Dado que la derivada no se anula, ya que su discriminante es negativo, la función es estrictamente creciente y posee una única raíz.
6.Demostrar que la ecuación 2x3 − 6x + 1 = 0 una única solución real en el intervalo (0, 1).
La función f(x) = 2x3 − 6x + 1 es continua y derivable en ·
·f(0) = 1
f(1) = −3
Por tanto la ecuación tiene al menos una solución en el intervalo (0, 1).
Teorema de Rolle.
f' (x) = 6x2 - 6 6x2 - 6 = 0 6(x − 1) (x + 1) = 0
La derivada se anula en x = 1 y x = −1, por tanto no puede haber dos raíces en el intervalo (0, 1).
Teorema del valor medio
El teorema del valor medio o de Lagrange dice que:
Sea f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), existe un punto c (a, b) tal que:
(a, b) tal que:
La interpretación geométrica del teorema del valor medio nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela a la secante.
El teorema de Rolle es un caso particular del teorema del valor medio, en el que f(a) = f(b).
Ejemplos
1. ¿Se puede aplicar el teorema de Lagrange a f(x) = 4x2 − 5x + 1 en [0, 2]?
f(x) es continua en [0, 2] y derivable en (−1, 2) por tanto se puede aplicar el teorema del valor medio:
2.¿Se puede aplicar el teorema de Lagrange a f(x) = 1/ x2 en [0, 2]?
La función no es continua en [−1, 2] ya que no definida en x = 0.
3.En el segmento de la parábola comprendido entre los puntos A = (1, 1) y B = (3, 0) hallar un punto cuya tangente sea paralela la cuerda.
Los puntos A = (1, 1) y B = (3, 0) pertenecen a la parábola de ecuación y = x2 + bx + c.
Por ser la función polinómica se puede aplicar el teorema del valor medio en el intervalo [1, 3].
4.Calcular un punto del intervalo [1, 3] en el que la tangente a la curva y = x3 − x2 + 2 sea paralela a la recta determinada por los puntos A(1, 2) y B(3, 20). ¿Qué teorema garantiza la existencia de dicho punto?
Hallamos la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos.
Por ser y = x3 − x2 + 2 continua en [1, 3] y derivable en (1, 3) se puede aplicar el teorema del valor medio:
5.Determinar a y b para que la función
cumpla las hipótesis del teorema de Lagrange en el intervalo [2, 6].
En primer lugar se debe cumplir que la función sea continua en [2, 6].
En segundo lugar se debe cumplir que la función sea derivable en (2, 6).
Teorema de Cauchy
El teorema de Cauchy o teorema del valor medio generalizado dice que:
Si f y g son funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b), existe un punto c (a, b) tal que:
(a, b) tal que:
Regla de L'Hôpital
Sean f y g funciones derivables en algún intervalo abierto que contiene al punto a. Si f(a) = g(a), y 
existe, entonces:
existe, entonces:
La regla de L'Hôpital se aplica directamente en las indeterminaciones:
Ejemplos
Si comparamos infinitos observamos que el numerador es un infinito de orden inferior al denominador, por tanto el límite es 0.
Indeterminación infinito menos infinito
En la indeterminación infinito menos infinito, si son fracciones, se ponen a común denominador.
Indeterminación cero por infinito
La indeterminación cero por infinito, se transforma del siguiente modo:
Indeterminaciones 
En las sin determinaciones cero elevado cero, infinito elevado a cero y uno elevado a infinito; se realiza en primer lugar las siguientes operaciones:
Ejemplos
Ejercicios
Aplicando las propiedades de los logaritmos en el segundo miembro tenemos:
