Limites

Límite finito Definición Intervalo cerrado Un segmento en el eje numérico con extremos a y b, con a < b, se denomina intervalo. Si los puntos extremos, a y b, están incluidos en el intervalo, se dice que el intervalo es cerrado, y se denota por [a,b]. [a,b] = { x perteneciente a R / a <= x <= b } El intervalo cerrado [a,b] consiste de los puntos x para los cuales a <= x <= b. Definición Intervalo abierto Si los puntos extremos se excluyen, el intervalo se llama abierto, y se denota por (a,b). (a,b) = { x perteneciente a R / a < x < b } El intervalo abierto (a,b) consiste de aquellos puntos x para los cuales a < x < b. El intervalo abierto (a,b) consiste de aquellos puntos x para los cuales a < x < b. Definición Entorno del punto a de radio δ Es el intervalo abierto (a - δ,a + δ), esto es, consiste de los valores x para los cuales a - δ < x < a + δ. Ea,δ = { x perteneciente a R / |x - a| < δ } Son los puntos x cuya distancia al punto a es menor que δ. Definición Entorno reducido de a de radio δ No incluye al punto a. E*a,δ = { x perteneciente a R / 0 < |x - a| < δ } Son los puntos x cuya distancia al punto a es menor que δ pero mayor que 0, es decir, no se incluye a a. El concepto de Límite Consideremos la función f(x)=x2. Observemos los valores de f(x) para x cercanos a 3. x f(x) 2,8 7,84 2,9 8,41 2,95 8,7025 2,99 8,9401 2,999 8,994001 3,001 9,006001 3,01 9,0601 3,05 9,3025 3,1 9,61 3,2 10,24 Cuando x se aproxima a 3, los valores de f(x) se acercan a 9. Se dice que f(x) tiende a 9 cuando x tiende a 3. En general, una función f(x) tiende a un límite b cuando x tiende a a, si f(x) difiere arbitrariamente poco de b para todo x situado suficientemente cerca de a. En símbolos, limx->af(x)=b. Enseguida se expresa más precisamente la definición de límite. Definición Límite finito de una función limx->a f(x)=b <=> para todo ε>0 existe δ>0 / para todo x, 0 < |x-a| < δ |f(x) - b| < ε. Otra notación: limx->a f(x)=b <=> para todo Eb,ε existe un E*a,δ / para todo x perteneciente al E*a,δ f(x) pertenece a Eb,ε. Se dice que la función f(x) tiene límite b, cuando x tiende a a, si dado ε positivo arbitrario y tan pequeño como se quiera, existe un δ tal que para todo x perteneciente al entorno reducido de a de radio δ, la función pertenece al entorno de b de radio ε. Dicho de otro modo, para cualquier número positivo ε, por pequeño que sea, podemos encontrar un δ tal que para todos los x dentro del entorno reducido de a de radio δ se cumple que f(x) está dentro del entorno de b de radio ε. limx->af(x)=b significa que por más pequeño que sea el entorno considerado alrededor de b, va a ser posible encontrar un entorno de a, para cuyos valores x (x ≠ a), la función f da como resultado valores que están dentro del entorno de b considerado. En otras palabras, la función f(x) tiene límite b, cuando x tiende a a, si el valor de la función f(x) se hace arbitrariamente próximo al valor b cuando x se aproxima al valor a. Notar que la definición dice entorno reducido de a. Es decir que f(a) puede no existir, o puede estar fuera del entorno de b, pero el límite de f cuando x tiende a a sigue siendo b. Teoremas sobre límites Teorema Unicidad del límite de una función Si una función tiene límite es único. H) Existe limx->af(x)=b T) b es único Demostración La demostración se hace por reducción al absurdo. Suponemos que f(x) tiene dos límites distintos b y c, cuando x tiende a a. Suponemos que b > c. limx->af(x)=b => (por def. de límite) para todo Eb,ε existe un E*a,δ1 / para todo x perteneciente al E*a,δ1 f(x) pertenece al Eb,ε. limx->af(x)=c => (por def. de límite) para todo Ec,ε existe un E*a,δ2 / para todo x perteneciente al E*a,δ2 f(x) pertenece al Ec,ε. Consideremos un ε tal que Eb,ε ∩ Ec,ε = Ø. Queremos que c+ε < b-ε => ε < (b - c)/2 Sea δ = min {δ1,δ2} Para todo x perteneciente al E*a,δ se cumple f(x) pertenece a Eb,ε f(x) pertenece a Ec,ε Absurdo, pues f(x) no puede pertenecer a dos entornos disjuntos. Absurdo de suponer b ≠ c. Por lo tanto b = c. Definición Límites laterales Límite de f(x) en el punto a por la derecha : limx->a+f(x)=b <=> para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a,a + δ) |f(x) - b| < ε. Límite de f(x) en el punto a por la izquierda : limx->a-f(x)=b <=> para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a - δ,a) |f(x) - b| < ε. Nota: x->a+ indica que x tiende a a por la derecha, es decir que x pertenece al entorno (a,a + δ). x->a- indica que x tiende a a por la izquierda, es decir que x pertenece al entorno (a - δ,a). A veces las funciones son discontinuas o no están definidas en un punto a, pero son continuas a uno y otro lado. En estos casos, el límite por la izquierda puede ser distinto del límite por la derecha. Ejemplo f(x) = x2 si x <= 2 -2x + 1 si x > 2     limx->2-f(x)=4 limx->2+f(x)=-3 No existe limx->2f(x) Teorema Existe el límite finito de una función <=> los límites laterales son iguales. H) limx->af(x)=b T) limx->a+f(x) = limx->a-f(x) = b Demostración: Directo: limx->af(x)=b => (por def. de límite) para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ f(x) pertenece al Eb,ε. => para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a - δ,a) f(x) pertenece al Eb,ε => (por def. de límites laterales) limx->a-f(x)=b. y para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a,a + δ) f(x) pertenece al Eb,ε => (por def. de límites laterales) limx->a+f(x)=b. Recíproco: limx->a+f(x)=b => (por def. de límites laterales) para todo ε > 0 existe δ1 > 0 / para todo x perteneciente a (a,a + δ1) f(x) pertenece al Eb,ε. limx->a-f(x)=b => (por def. de límites laterales) para todo ε > 0 existe δ2 > 0 / para todo x perteneciente a (a - δ2,a) f(x) pertenece al Eb,ε. Sea δ = min {δ1,δ2} Para todo x perteneciente a E*a,δ f(x) pertenece al Eb,ε. => (por def. de límite) limx->af(x) = b. Ejemplo: en la función del ejemplo anterior, no existe limx->2f(x), pues limx->2-f(x) ≠ limx->2+f(x). Teorema Conservación del signo Para valores de x suficientemente próximos al valor de tendencia, la función tiene el mismo signo que su límite. H) limx->af(x)=b > 0 T) Existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ f(x) > 0 Demostración: limx->af(x)=b => (por def. de límite) para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ f(x) pertenece al Eb,ε. Es decir, b - ε < f(x) < b + ε. Consideremos ε < b => 0 < b - ε < f(x) => f(x) > 0. Así, basta considerar un ε menor que b, para tener un entorno de a donde f(x) es mayor que 0. Nota: El teorema también se cumple para valores negativos. Si la función tiene distinto signo en la mitad izquierda del entorno de a que en la mitad derecha, entonces su límite en a vale 0. Teorema de la función comprendida Si una función está comprendida entre otras dos que tienen igual límite cuando x tiende a a, entonces tiene el mismo límite. H) limx->af(x) = limx->ag(x) = b Existe δ1 > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ1 f(x) <= h(x) <= g(x) T) limx->ah(x)=b Demostración: limx->af(x)=b => (por def. de límite) para todo ε > 0 existe δ2 > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ2 b - ε < f(x) < b + ε. limx->ag(x)=b => (por def. de límite) para todo ε > 0 existe δ3 > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ3 b - ε < g(x) < b + ε. Sea δ = min {δ1,δ2,δ3} Para todo x perteneciente al E*a,δ b - ε < f(x) <= h(x) <= g(x) < b + ε => (por def. de límite) limx->ah(x) = b. Teorema de la acotación Si una función tiene límite finito cuando x tiende a a, entonces está acotada en un entorno reducido de a. H) limx->af(x)=b T) Existe δ > 0 y existen h y k reales / para todo x perteneciente al E*a,δ h < f(x) < k Demostración. limx->af(x)=b => (por def. de límite) para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ b - ε < f(x) < b + ε --^-- --^-- h k cota inferior cota superior Nota: también podemos expresar la tesis como: Existe δ>0 y existen h y k reales positivos / para todo x perteneciente al E*a,δ h < |f(x)| < k. Límite infinito Observemos la función f(x)=1/x2 para valores de x positivos muy grandes. x f(x) 100 1,0x10-4 1.000 1,0x10-6 10.000 1,0x10-8 100.000 1,0x10-10 1.000.000 1,0x10-12 Si tomamos x cada vez mayor, f(x) está cada vez más cerca de 0. Si x es suficientemente grande podemos conseguir que f(x) se acerque a 0 tanto como queramos. Decimos que f(x) tiende a 0 cuando x tiende a infinito. Veamos a continuación las definiciones precisas de cada uno de los límites que involucran al infinito. Definición Límite infinito Caso 1: limx->af(x) = +inf <=> para todo A > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ f(x) > A. El límite de f(x) cuando x->a es infinito positivo, si para cualquier número positivo A (tan grande como se quiera), podemos encontrar un número δ tal que, para todos los x dentro del entorno reducido de a de radio δ se cumple que f(x) es mayor que A. En otras palabras, si para cualquier número positivo A que consideremos, existe un entorno reducido de a donde la función vale más que A, quiere decir que f(x) puede hacerse mayor que cualquier número, con tal de que x se acerque lo suficiente a a. Por eso se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a a es +inf. Caso 2: limx->af(x) = -inf <=> para todo A > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ f(x) < -A. Caso 3: limx->+inff(x) = +inf <=> para todo A > 0 existe B > 0 / para todo x > B f(x) > A. Para cualquier número positivo A (por grande que sea), es posible encontrar un número positivo B tal que para todos los x mayores que B, f(x) es mayor que A. Es decir que f(x) puede ser mayor que cualquier número, si x es lo suficientemente grande. Caso 4 limx->+inff(x) = -inf <=> para todo A > 0 existe B > 0 / para todo x > B f(x) < -A. Caso 5: limx->-inff(x) = +inf <=> para todo A > 0 existe B > 0 / para todo x < -B f(x) > A. Caso 6: limx->-inff(x) = -inf <=> para todo A < 0 existe B < 0 / para todo x < -B f(x) < -A. Caso 7: limx->+inff(x) = b <=> para todo ε > 0 existe B > 0 / para todo x > B f(x) pertenece al Eb,ε. Caso 8: limx->-inff(x) = b <=> para todo ε > 0 existe B > 0 / para todo x < -B f(x) pertenece al Eb,ε. Operaciones con límites Teorema Límite de la suma El límite de una suma es igual a la suma de los límites de cada término, siempre que estos límites sean finitos. H) limx->af(x)=b, limx->ag(x)=c T) limx->af(x) + g(x) = b + c Demostración: Queremos probar que, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que para todo x perteneciente al E*a,δ |(f(x) + g(x)) - (b+c)| < ε. Sea ε' = ε/2 limx->af(x)=b => (por def. de límite) para todo ε' > 0 existe δ1 > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ1 |f(x) - b| < ε'. limx->ag(x)=c => (por def. de límite) para todo ε' > 0 existe δ2 > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ2 |g(x) - c| < ε'. Sea δ = min {δ1,δ2} Para todo x perteneciente al E*a,δ se cumple: |f(x) - b| < ε' |g(x) - c| < ε' => |f(x) - b| + |g(x) - c| < 2ε' = ε |(f(x) + g(x)) - (b+c)| = |(f(x) - b) + (g(x) - c)| <= (*) |f(x) - b| + |g(x) - c| < ε (*) Desigualdad triangular: |a + b| <= |a| + |b| => (por def. de límite) limx->af(x) + g(x) = b + c Ejemplo: limx->2 x2 = 4 limx->2 x = 2 limx->2 x2 + x = 6 Teorema H) limx->af(x) = b, limx->ag(x) = +inf T) limx->af(x) + g(x) = +inf Demostración: limx->af(x)=b => (por def. de límite) para todo Eb,ε existe un E*a,δ1 / para todo x perteneciente al E*a,δ1 b - ε < f(x) < b + ε. limx->ag(x)= +inf => (por def. de límite infinito) para todo A > 0 existe un E*a,δ2 / para todo x perteneciente al E*a,δ2 g(x) > A. Sea δ = min {δ1,δ2} Para todo x perteneciente al E*a,δ se cumple: f(x) > b - ε g(x) > A => f(x) + g(x) > A + b - ε = K => (por def. de límite infinito) limx->a f(x) + g(x) = +inf. Teorema H) limx->af(x) = b, limx->ag(x) = -inf T) limx->af(x) + g(x) = -inf Demostración: Análoga a la anterior. Teorema H) limx->af(x) = +inf, limx->ag(x) = +inf T) limx->af(x) + g(x) = +inf Demostración: Sea A > 0. Consideremos A/2. Por def. de límite infinito, existe δ1 > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ1 f(x) > A/2 Por def. de límite infinito, existe δ2 > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ2 g(x) > A/2 Sea δ = min {δ1,δ2} Para todo x perteneciente al E*a,δ f(x) + g(x) > A => (por def. de límite infinito) limx->af(x) + g(x) = +inf. Teorema H) limx->af(x) = -inf, limx->ag(x) = -inf T) limx->af(x) + g(x) = -inf Demostración: Análoga a la anterior. Cuando limx->af(x) = -inf y limx->ag(x) = +inf, el limx->af(x) + g(x) no puede determinarse, se dice que es INDETERMINADO de la forma inf - inf. Teorema Límite del producto H) limx->af(x) = b, limx->ag(x) = c T) limx->af(x).g(x) = b.c Demostración: Queremos probar que, dado ε > 0, existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ |f(x).g(x) - b.c| < ε. limx->af(x) = b => (por def. de límite) para todo Eb,ε1 existe E*a,δ1 / para todo x perteneciente al E*a,δ1 f(x) pertenece al Eb,ε1. limx->ag(x) = c => (por def. de límite) para todo Ec,ε2 existe E*a,δ2 / para todo x perteneciente al E*a,δ2 f(x) pertenece al Ec,ε2. limx->af(x) = b => (por teo. de la acotación) existe δ3 > 0 y k > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ3 |f(x)| < k. ε ε Sea ε1 = --- , ε2 = --- 2|c| 2k ε ε |f(x) - b| < --- => |c||f(x) - b| < --- (1) 2|c| 2 ε ε |g(x) - c| < --- => k|g(x) - c| < --- (2) 2k 2 ε |f(x)| < k => (de 2) |f(x)||g(x) - c| < --- (3) 2 Sea δ = min {δ1,δ2} De 1) y 3): para todo x perteneciente al E*a,δ |c||f(x) - b| + |f(x)||g(x) - c| < ε |f(x)g(x) - bc| = |f(x)g(x) - bc + f(x)c - f(x)c| = |c(f(x) - b) + f(x)(g(x) - c)| <= (*) |c||f(x) - b| + |f(x)||g(x) - c| < ε (*) Desigualdad triangular: |a + b| <= |a| + |b| => |f(x)g(x) - bc| < ε => (por def. de límite) limx->af(x)g(x) = bc Ejemplo limx->2 x = 2 limx->2 ex = e2 limx->2 xex = 2e2 Teorema H) limx->af(x) = b, limx->ag(x) = inf T) limx->af(x)g(x) = inf Nota: inf denota el infinito, positivo o negativo. Caso 1: H) limx->af(x) = b > 0, limx->ag(x) = +inf T) limx->af(x)g(x) = +inf Caso 2: H) limx->af(x) = b > 0, limx->ag(x) = -inf T) limx->af(x)g(x) = -inf Caso 3: H) limx->af(x) = b < 0, limx->ag(x) = +inf T) limx->af(x)g(x) = -inf Caso 4: H) limx->af(x) = b < 0, limx->ag(x) = -inf T) limx->af(x)g(x) = +inf Demostración caso 1: Quiero probar que para todo B > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ f(x)g(x) > B. limx->af(x) = b => (por teo. de la acotación) existe δ1 > 0 y k > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ1 f(x) > k. limx->ag(x) = +inf => (por def. de límite infinito) para todo A > 0 existe δ2 > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ2 g(x) > A. Sea δ = min {δ1,δ2} Para todo x perteneciente al E*a,δ f(x) > k g(x) > A => f(x)g(x) > kA > B Basta elegir A > B/k. Los demás casos se demuestran en forma análoga. Si b = 0 el limx->af(x)g(x) no puede determinarse. Se dice que es una INDETERMINACIóN de la forma 0.inf. Teorema Límite del cociente H) limx->af(x) = b, limx->ag(x) = c (c distinto de 0) T) limx->af(x)/g(x) = b/c Demostración: limx->af(x) = b => (por def. de límite) para todo Eb,ε1 existe un E*a,δ1 / para todo x perteneciente al E*a,δ1 |f(x) - b| < ε1. limx->ag(x) = c => (por def. de límite) para todo Ec,ε2 existe un E*a,δ2 / para todo x perteneciente al E*a,δ2 |g(x) - c| < ε2. Quiero probar que limx->af(x)/g(x) = b/c, o sea que para todo Eb/c,ε existe un E*a,δ / para todo x perteneciente al E*a,δ |f(x)/g(x) - b/c| < ε. |f(x)c - g(x)b| |f(x)c - g(x)b - bc + bc| |f(x)/g(x) - b/c| = --------------- = ------------------------- = |g(x)c| |g(x)c| |c(f(x) - b) + b(c - g(x))| |c||f(x) - b| + |b||c - g(x)| --------------------------- <= ----------------------------- < |g(x)c| (*) |g(x)c| (**) |c||f(x) - b| + |b||c - g(x)| (1) ----------------------------- k|c| (*) Desigualdad triangular: |a + b| <= |a| + |b|. (**) pues |g(x)|>k por teo. de la acotación. Sea ε1 = εk/2 y ε2 = εk|c|/2|b| Para todo x perteneciente al E*a,δ1 |f(x) - b| < εk |c||f(x) - b| < εk|c| (2) --- => ---- 2 2 Para todo x perteneciente al E*a,δ2 |g(x) - c| < εk|c| |b||g(x) - c| < εk|c| (3) ----- => ---- 2|b| 2 Sea δ = min {δ1,δ2} De 2) y 3): para todo x perteneciente al E*a,δ |c||f(x) - b| + |b||g(x) - c| < εk|c| |c||f(x) - b| + |b||c - g(x)| εk|c| => |f(x)/g(x) - b/c| < ----------------------------- < ----- = ε por 1) k|c| k|c| Ejemplo ex 1 lim ----- = -- x->0 x + 2 2 Otros cocientes Caso 1: H) limx->af(x) = b > 0, limx->ag(x) = 0+ T) limx->af(x)/g(x) = +inf (-inf si b < 0) El límite 0+ indica que, en un entorno de a, f(x) se aproxima a 0 por la derecha, es decir, 0 < f(x) < ε. Caso 2: H) limx->af(x) = b > 0, limx->ag(x) = 0- T) limx->af(x)/g(x) = -inf (+inf si b < 0) Caso 3: H) limx->ag(x) = b > 0, limx->ag(x) = +inf T) limx->af(x)/g(x) = 0+ (0- si b < 0) Caso 4: H) limx->af(x) = b > 0, limx->af(x) = -inf T) limx->af(x)/g(x) = 0- (0+ si b < 0) Si limx->af(x) = 0 y limx->ag(x) = 0, limx->af(x)/g(x) no puede determinarse. Se dice que es INDETERMINADO de la forma 0/0. Si limx->af(x) = inf y limx->ag(x) = inf, limx->af(x)/g(x) no puede determinarse. Se dice que es INDETERMINADO de la forma inf/inf. Límite exponencial Caso 1: H) limx->af(x) = b, limx->ag(x) = c (c≠0) T) limx->af(x)g(x) = bc Caso 2: H) limx->af(x) = b, limx->ag(x) = 0 T) limx->af(x)g(x) = 1 Caso 3: H) limx->af(x) = b, limx->ag(x) = +inf T) limx->af(x)g(x) = +inf Caso 4: H) limx->af(x) = b, limx->ag(x) = -inf T) limx->af(x)g(x) = 0 Si limx->af(x) = 0 y limx->ag(x) = inf, limx->af(x)g(x) no puede determinarse. Se dice que es INDETERMINADO de la forma 0inf. Si limx->af(x) = 0 y limx->ag(x) = 0, limx->af(x)g(x) no puede determinarse. Se dice que es INDETERMINADO de la forma 00. Si limx->af(x) = inf y limx->ag(x) = 0, limx->af(x)g(x) no puede determinarse. Se dice que es INDETERMINADO de la forma inf0. Si limx->af(x) = 1 y limx->ag(x) = inf, limx->af(x)g(x) no puede determinarse. Se dice que es INDETERMINADO de la forma 1inf. Teorema H) limx->a f(x) = 1, limx->a g(x) = inf T) limx->a f(x)g(x) = ek, k = limf(x)->1, g(x)->inf g(x)(f(x) - 1) Demostración: Sea h(x) = f(x) - 1 lim h(x) = 0 por límite de la suma f(x) = 1 + h(x) lim (1 + h(x))g(x) = lim (1 + h(x))g(x).(h(x)/h(x)) = h(x)->0, g(x)->inf h(x)->0, g(x)->inf h(x)≠0 e -------^------- (1) lim (1 + h(x))1/h(x).g(x).h(x) = elim g(x).h(x) = h(x)->0, g(x)->inf h(x)≠0 lim g(x)(f(x) - 1) e g(x)->inf, f(x)->1 1) por límite tipo 2 y límite exponencial. Función compuesta Si f es una función tal que f:A->B y g es una función tal que g:C->D, y B es subconjunto de C (el dominio de g contiene al rango de f), podemos definir una nueva función h:A->D como sigue: para cada x en A, se aplica f resultando un valor f(x) en B. Luego a este valor f(x) se aplica g, obteniéndose g[f(x)]. Definimos h como la función que mapea x en g[f(x)]. Se dice que h es la composición de g y f: h(x) = (g o f)(x) = g(f(x)) Teorema Límite de la función compuesta H) limx->af(x)=b, limx->bg(x)=c T) limx->ag[f(x)]=c Demostración: Queremos demostrar que limx->a g[f(x)]=c, o sea, por definición de límite, queremos probar que, dado ε>0 existe δ>0 tal que para todo x perteneciente al E*a,δ g[f(x)] perteneciente al Ec,ε. Por hipótesis limx->bg(x)=c => por def. de límite, dado ε>0 existe δ>0 tal que... para todo x perteneciente al E*b,δ g(x) pertenece al Ec,ε   (1) Por hipótesis limx->af(x) = b => por def. de límite si tomamos el número δ de (1), existe α>0 tal que... para todo x perteneciente al E*a,α f(x) pertenece al Eb,δ   (2) De (1) y (2) se deduce que: Dado ε>0 existe α>0 / para todo x perteneciente al E*a,α g[f(x)] pertenece al Ec,ε. Límites de polinomios Límite de un polinomio P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 1) limx->b P(x) = P(b) Ejemplo: limx->1 x2 + 2x - 1 = 2 2) limx->inf P(x) = limx->inf anxn limx->inf P(x) = limx->inf anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 = 0 0 0 0 --^-- --^-- --^-- --^-- anxn(1 + an-1 + an-2 + ... + a1 + a0 ) = lim anxn lim --- --- --- --- x->inf x->inf anx anx2 anxn-1 anxn Ejemplo: limx->+inf x2 - 2x - 1 = limx->+inf x2 = +inf Límite del cociente de polinomios A(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 B(x) = bnxn + bn-1xn-1 + ... + b1x + b0 A(x) | A(α) lim ---- = | 1) ---- si B(α) distinto de 0 x->α B(x) | B(α) | 2) inf si B(α)=0 y A(α) distinto de 0 | 3) INDETERMINADO de la forma 0/0 | si B(α)=0 y A(α)=0 Ejemplo: 2x2 + x + 1 4 lim ----------- = -- = 2 x->1 x2 + 2x - 1 2 x2 + 1 lim ------------ = +inf x->1 x2 + x - 2 x2 - 1 lim ----------- INDETERMINADO de la forma 0/0 x->1 x2 + x - 2 Cómo resolver la indeterminación 0/0 B(α) = 0 => α es raíz de B(x) => (por teo. de Descartes) (x - α) | B(x) ( (x - α) divide a B(x) ) => existe B1(x) / B(x) = (x - α)B1(x) A(α) = 0 => α es raíz de A(x) => (por teo. de Descartes) (x - α) | A(x) => existe A1(x) / A(x) = (x - α)A1(x) A(x) (x - α)A1(x) A1(α) => lim ---- = lim ------------ = ------ x->α B(x) x->α (x - α)B1(x) B1(α) Ejemplo x2 - 1 (x - 1)(x + 1) 2 lim ----------- = lim -------------- = -- x->1 x2 + x - 2 x->1 (x - 1)(x + 2) 3 Fuente:http://matematica.50webs.com/