Continuidad

f(x)=x2

Intuitivamente, la continuidad significa que un pequeño cambio en la variable x implica sólo un pequeño cambio en el valor de f(x), es decir, la gráfica consiste de un sólo trozo de curva.

f(x)=sgn x

En contraste, una gráfica como la de la función f(x) = sgn x (signo de x) que consiste de pedazos de curva separados por un vacío en una abcisa exhibe allí una discontinuidad.
La continuidad de la función f(x) para un valor a significa que f(x) difiere arbitrariamente poco del valor f(a) cuando x está suficientemente cerca de a.

Expresemos esto en términos del concepto de límite...

Definición

Continuidad

Una función f(x) es continua en un punto a si lim_x->af(x) = f(a).

Nota: observar que debe existir f(a) y debe existir el lim_x->a f(x) y debe ser igual a f(a).

Ejemplos de discontinuidad

f(x)= 1/x2 Discontinua en x=0 (No existe f(0))

f(x) = x2 si x <= 2         2x - 4 si x > 2 Discontinua en x=2. Si bien existe f(2), no existe limx->2f(x), pues limx->2-f(x)=4 y limx->2+f(x)=0

Sin embargo, si miramos la función para x próximos a 2 pero menores, e ignoramos los x mayores que 2, la función es continua en 2 "por la izquierda".

Definición

Continuidad por la izquierda

Una función f(x) es continua por la izquierda en el punto a si existe f(a) y lim_x->a-f(x) = f(a).

Definición

Continuidad por la derecha

Una función f(x) es continua por la derecha en el punto a si existe f(a) y lim_x->a+f(x) = f(a).

La función anterior es continua por la izquierda en x=2, pero no por la derecha.

Definición

Continuidad en un intervalo cerrado [a,b]

Una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b] si:
f es continua en a por la derecha
f es continua en b por la izquierda
f es continua en x, para todo x perteneciente al intervalo abierto (a,b)

Clasificación de discontinuidades

Evitable

Caso A:

No existe f(a) pero existe lim_x->af(x).

Ejemplo:

f(x)= e-1/x2 + 2

No existe f(0) pues anula un denominador.
lim_x->0-f(x) = lim_x->0+f(x) = 2 o sea lim_x->0f(x)=2
Podemos extender la definición de la función, asignándole en el punto a el valor del límite, con lo cual la función se torna continua. Por ello este tipo de discontinuidad se denomina evitable.

Caso B:

Existe f(a) y existe lim_x->af(x)=b pero b≠f(a).
(Existe f(a) pero es distinto al valor del límite).

Ejemplo:

f(x) = x2 si x≠2         8 si x=2

f(2) = 8
lim_x->2 f(x) = 4
Asignándole a la función el valor 4 en x=2, se elimina la discontinuidad.

No evitable

1ª especie:

lim_x->a-f(x) ≠ lim_x->a+f(x).
(Los límites laterales son distintos).

Ejemplo:

f(x) = x/(x - 2)

lim_x->2-f(x) = -inf
lim_x->2+f(x) = +inf

2ª especie:

No existe lim_x->a-f(x) o no existe lim_x->a+f(x).
(No existe por lo menos uno de los límites laterales).

Ejemplo:

______ f(x) = \|x2 - 4

En x=-2 y x=2 la función presenta discontinuidades no evitables de 2ª especie. No existe lim_x->-2+f(x) y no existe lim_x->2-f(x).

Operaciones con funciones continuas

Si f y g son funciones continuas en x=a, la suma, multiplicación y cociente de f y g (con g(a) ≠ 0) son funciones continuas en x=a.

H) f(x) es continua en x=a.
    g(x) es continua en x=a.
T) f(x) + g(x) es continua en x=a.

Demostración Por definición de continuidad,
existe f(a) y existe lim_x->af(x) = f(a)
existe g(a) y existe lim_x->ag(x) = g(a)
=> por teo. límite de la suma de funciones, el límite de una suma de funciones es igual a la suma de los límites de cada función, si éstos son finitos.
lim_x->a f(x) + g(x) = f(a) + g(a)
=> por def. de continuidad f(x) + g(x) es continua en x=a.
Análogamente se prueba la continuidad del producto y el cociente.

Teorema

Continuidad de la función compuesta

H) f es continua en x=a.
    g es continua en x=f(a).
T) g o f es continua en x=a.

Demostración:
Queremos demostrar que lim_x->a g[f(x)]=g[f(a)], o sea, por definición de límite, queremos probar que, dado ε>0 existe δ>0 tal que para todo x perteneciente al E^*_a,δ g[f(x)] perteneciente al E_g[f(a)],ε.
Por hipótesis g es continua en f(a) => por def. de continuidad lim_x->f(a) g(x)=g[f(a)] => por def. de límite, dado ε>0 existe δ>0 tal que...

para todo x perteneciente al E^*_f(a),δ g(x) pertenece al E_g[f(a)],ε   (1)

Por hipótesis f es continua en a => por def. de continuidad lim_x->af(x) = f(a), es decir que (por def. de límite) si tomamos el número δ de (1), existe α>0 tal que...

para todo x perteneciente al E^*_a,α f(x) pertenece al E_f(a),δ   (2)

De (1) y (2) se deduce que:
Dado ε>0 existe α>0 / para todo x perteneciente al E^*_a,α g[f(x)] pertenece al E_g[f(a)],ε.

Teorema de Bolzano Antes de enunciar el teorema de Bolzano, veamos una definición y una propiedad relativas a sucesiones, que se emplearán en la demostración de dicho teorema. (Por más detalles, visitar la página sobre sucesiones). Definición: Par de sucesiones monótonas convergentes (PSMC) ((an),(bn)) es un PSMC <=> 1) (an) es creciente     (bn) es decreciente 2) Para todo n natural an < bn 3) Para todo ε > 0 existe h natural / bh - ah < ε Propiedad: Todo PSMC tiene frontera ((an),(bn)) es un PSMC => existe c / para todo n an <= c <= bn, lim an = c- y lim bn = c+. Teorema de Bolzano Bernhard Bolzano (1781-1848) Si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b] y f(a) y f(b) son de distinto signo, existe por lo menos un punto entre a y b para el cual f(c)=0. H) f(x) continua en [a,b]     f(a).f(b) < 0 T) Existe c perteneciente a (a,b) / f(c) = 0 Geométricamente, el teorema establece que si dos puntos (a,f(a)) y (b,f(b)) de la gráfica de una función continua están situados en diferentes lados del eje x, entonces la gráfica intersecta al eje en algún punto entre a y b. Por supuesto que pueden haber varias intersecciones. Demostración: Supongamos que f(a)<0 y f(b)>0. (La demostración sería análoga si supusiéramos f(a)>0 y f(b)<0.) Consideremos el punto medio de [a,b]: (a+b)/2. Si f((a+b)/2)=0 queda demostrado el teorema. Sino, f será positiva o negativa en (a+b)/2. Tomemos una de las mitades del intervalo [a,b] donde la función sea negativa en un extremo y positiva en el otro. Llamemos a1 y b1 a los extremos de este intervalo. Ahora dividamos [a1,b1] a la mitad. Si f no vale cero en el punto medio, será positiva o negativa. Tomemos la mitad donde f tiene distinto signo en cada extremo, y llamemos a estos puntos a2 y b2. Si continuamos de esta manera, obtenemos una sucesión de intervalos [a,b], [a1,b1], [a2,b2], etc., tales que a <= a1 <= a2 <= ... <= an y b >= b1 >= b2 >= ... >= bn. Es decir, 1) Los ai forman una sucesión creciente y los bi forman una sucesión decreciente. 2) Los ai son siempre menores que los bi. Veamos cuál es el limn->+inf bn - an. bn - an es la longitud del intervalo [an,bn]. La longitud del intervalo [a1,b1] es (b - a)/2, la mitad de la longitud de [a,b] que es b - a. La longitud del intervalo [a2,b2] es (b - a)/22, la mitad de la longitud de [a1,b1] que es (b - a)/2. Y siguiendo de esta manera, la longitud del intervalo [an,bn] es (b - a)/2n. De modo que, 3) limn->+inf bn - an = limn->+inf (b - a)/2n = 0. 1), 2) y 3) son las condiciones de la definición de PSMC: an es creciente, bn es decreciente Para todo n natural an < bn Para todo ε>0 existe h natural / bh - ah < ε (que es lo mismo que limn->+inf bn - an = 0.) Todo PSMC tiene la propiedad de definir un número frontera entre ambas sucesiones. ((an),(bn)) es un PSMC => existe c / para todo n an <= c <= bn, lim an = c- y lim bn = c+. lim an = c- significa que para todo δ>0 existe n1 / para todo n>=n1 c - δ < an < c. lim bn = c+ significa que para todo δ>0 existe n2 / para todo n>=n2 c < bn < c + δ. O sea que tomando el mayor entre n1 y n2, llamémosle n3, se cumplen ambas cosas. Es decir, para todo δ>0 existe n3 / para todo n >= n3 c-δ < [an,bn] < c+δ. Esto significa que, para cualquier entorno de c que consideremos, existe un intervalo [an,bn] contenido en dicho entorno. Por otro lado, f es continua en [a,b] por hipótesis. Por lo tanto es continua en c. Por definición de continuidad, limx->c f(x)=f(c). Si f(c)<0, por teo. de conservación del signo existe un entorno de c donde f(x) es negativa. Dentro de este entorno, existe un intervalo [an,bn], donde f(an) es de distinto signo que f(bn). Esto es una contradicción, por lo tanto f(c) no puede ser negativo. Si f(c)>0, por teo. de conservación del signo existe un entorno de c donde f(x) es positiva. Pero, otra vez, dentro de ese entorno existe un intervalo [an,bn] tal que f(an) es de distinto signo que f(bn). Por lo tanto, no existe otra posibilidad: f(c)=0. Propiedad de Darboux Gaston Darboux (1842-1917) Si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b] y k es cualquier número entre f(a) y f(b), entonces existe un valor d entre a y b para el cual f(d)=k. H) f continua en [a,b]    f(a) < k < f(b) T) Existe d perteneciente a (a,b) / f(d)=k Sea g una función auxiliar: g(x) = f(x) - k. g es continua en [a,b] por ser suma de funciones continuas g(a) = f(a) - k < 0 g(b) = f(b) - k > 0 => de 1), 2) y 3) por teorema de Bolzano, existe d perteneciente a (a,b) / g(d) = f(d) - k = 0 O sea, existe d perteneciente a (a,b) / f(d)=k. Weierstrass Antes que nada, veamos una definición y una propiedad relativas a sucesiones, que se emplearán en la demostración del lema de Weierstrass. Definición: Par de sucesiones monótonas convergentes (PSMC) ((an),(bn)) es un PSMC <=> 1) (an) es creciente     (bn) es decreciente 2) Para todo n natural an < bn 3) Para todo ε > 0 existe n0 natural / bn0 - an0 < ε Propiedad: Todo PSMC tiene frontera ((an),(bn)) es un PSMC => existe c / para todo n an <= c <= bn, lim an = c- y lim bn = c+. Lema de Weierstrass Karl Weierstrass (1815-1897) Una función continua en un intervalo cerrado está acotada. H) f continua en [a,b] T) f está acotada en [a,b] Demostración: La demostración se realiza por el absurdo. Esto es, se supone falsa la tesis y se llega a una contradicción. Suponemos entonces que f(x) no está acotada en [a,b]. Dividamos el intervalo [a,b] a la mitad. Si f está acotada en una de las mitades, entonces no lo está en la otra. Tomemos esta mitad. Llamemos a1 y b1 a los extremos de este nuevo intervalo. f no está acotada en [a1,b1]. Dividamos [a1,b1] en dos intervalos iguales. Si f está acotada en uno de ellos, tomemos el otro, si no, tomemos cualquiera. Llamemos a sus extremos a2 y b2. Continuando de esta manera, tenemos una sucesión de intervalos [a,b], [a1,b1], [a2,b2], etc., tales que a <= a1 <= a2 <= ... <= an y b >= b1 >= b2 >= ... >= bn. Es decir, 1) Los ai forman una sucesión creciente y los bi forman una sucesión decreciente. 2) Los ai son siempre menores que los bi. Veamos cuál es el limn->+inf bn - an. bn - an es la longitud del intervalo [an,bn]. La longitud del intervalo [a1,b1] es (b-a)/2, la mitad de la longitud de [a,b] que es b-a. La longitud del intervalo [a2,b2] es (b-a)/22, la mitad de la longitud de [a1,b1] que es (b-a)/2. Y siguiendo de esta manera, la longitud del intervalo [an,bn] es (b-a)/2n. De modo que... 3) limn->+inf bn - an = limn->+inf (b - a)/2n = 0. (1), (2) y (3) son las condiciones de la definición de PSMC. Es decir que las sucesiones an y bn cumplen con la definición de PSMC: an es creciente, bn es decreciente Para todo n natural an < bn Para todo ε>0 existe n0 natural / bn0 - an0 < ε (que es lo mismo que limn->+inf bn - an = 0.) ((an),(bn)) es un PSMC y, por lo tanto, tiene frontera: existe c / para todo n an <= c <= bn, lim an = c- y lim bn = c+. lim an = c- significa que para todo δ > 0 existe n1 / para todo n >= n1 c - δ < an < c. lim bn = c+ significa que para todo δ > 0 existe n2 / para todo n >= n2 c < bn < c + δ. O sea que tomando el mayor entre n1y n2, llamémosle n3, se cumplen ambas cosas. Es decir, para todo δ > 0 existe n3 / para todo n >= n3 c - δ < [an,bn] < c + δ. Esto significa que, para cualquier entorno de c que consideremos, existe un intervalo [an,bn] contenido en dicho entorno. Por otro lado, f es continua en [a,b] por hipótesis. Por lo tanto es continua en c. Por definición de continuidad, limx->cf(x) = f(c), o sea, para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*c,δ f(c) - ε < f(x) < f(c) + ε. Es decir, f está acotada en (c - δ, c + δ). Pero antes dijimos que f no estaba acotada en ninguno de los intervalos [an,bn]. Tenemos pues aquí una contradicción: decimos que f está acotada en (c - δ, c + δ), pero no en [an,bn] que está contenido dentro, lo cual es absurdo. Este absurdo proviene de suponer que f no está acotada en [a,b]. Máximo y mínimo absoluto Llamamos máximos relativos y mínimos relativos a aquellos puntos donde la función f tiene un valor máximo o mínimo comparado con los valores de f(x) para x en algún entorno de esos puntos. Cuando hablamos de máximo y mínimo absoluto nos referimos al máximo y al mínimo de f en relación con todos los valores posibles de f(x), para todo x del dominio. Para localizar los máximos absolutos (mínimos absolutos) de la función, debemos comparar los máximos relativos (mínimos relativos) y ver cuál de estos valores es el mayor (menor). Teorema de Weierstrass Una función continua en un intervalo cerrado, tiene máximo y mínimo absoluto en dicho intervalo. H) f es continua en [a,b]. T) f tiene máximo y mínimo absoluto en [a,b]. Demostración: Por hipótesis, f es continua en [a,b] => por el lema de Weierstrass f está acotada en [a,b], es decir, existen m y n tales que m <= f(x) <= n para todo x perteneciente a [a,b]. La demostración se realiza por reducción al absurdo. Primero demostraremos que f tiene máximo absoluto en [a,b]. Queremos probar que existe x1 perteneciente a [a,b] / f(x1) = n. Supongamos lo contrario de lo que queremos demostrar, o sea que para todo x perteneciente a [a,b] f(x) ≠ n, f(x) < n. Sea g una función auxiliar: g(x)=1/(n - f(x)). g es continua en [a,b] por ser diferencia y cociente de funciones continuas y n - f(x) ≠ 0. Por el lema de Weierstrass, g está acotada, es decir, para todo x perteneciente a [a,b] s <= g(x) <= t 1/(n - f(x)) <= t 1/t <= n - f(x) f(x) <= n - 1/t => n - 1/t es una cota superior de f en [a,b] (1) Por otro lado g(x) > 0 => t > 0 => 1/t > 0 => n - 1/t < n (2) De (1) y (2) se deduce que existe una cota superior de f menor que n, el extremo superior, lo cual es absurdo, pues el extremo superior es la menor de las cotas superiores. El absurdo surge de suponer que no existe x tal que f(x)=n, por lo tanto existe x1 perteneciente a [a,b] / f(x1)=n. Demostraremos ahora que f tiene mínimo absoluto. Procederemos como en el caso anterior, por el absurdo. Supondremos que para todo x perteneciente a [a,b] f(x) ≠ m, f(x) > m. Sea h una función auxiliar: h(x) = 1/(f(x)-m) h es continua en [a,b] por ser diferencia y cociente de funciones continuas y f(x)≠m. Por el lema de Weierstrass, h está acotada, es decir, para todo x perteneciente a [a,b] h <= h(x) <= k 1/(f(x)-m) <= k 1/k <= f(x) - m f(x) >= 1/k + m => 1/k + m es una cota inferior de f (1) Por otro lado h(x)>0 => k>0 => 1/k>0 => 1/k + m > m (2) De (1) y (2) se deduce que existe una cota inferior de f mayor que el extremo inferior, lo cual es absurdo. Este absurdo proviene de suponer que no existe x tal que f(x)=m. Por lo tanto, sí existe algún x tal que f(x)=m.  Fuente:http://matematica.50webs.com/